「自作問題集(41~60)」の編集履歴（バックアップ）一覧はこちら
「自作問題集(41~60)」(2008/06/15 (日) 13:33:23) の最新版変更点
追加された行は緑色になります。
削除された行は赤色になります。
投票会を春休みかなんかにやります。それまでじっくり見たり解いてみたりしてください。
----
問題41(y)
(1/a)+(1/b)+(1/c)=１のa,b,cの整数解は何通りあるでしょう。ただし10≧a≧b≧ｃです。
問題42(y)
(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/d)+(1/e)+(1/f)=Ａ
a~fはそれぞれ異なる自然数のとき最大のＡの値を求めよ。
また、そのとき(a,b,c,d,e,f)の組は何通り考えられるか。
問題43(i)
<math>a+b=c^{2}</math>
<math>b+c=a^{2}</math>
<math>c+a=b^{2}</math>
<math>a,b,c</math>の自然数解をすべて求めよ。
問題44(t)
0≦d,e,f≦50・・・①
dx^2+ey+fz=g・・・②
ex^2+fy+dz=h・・・③
fx^2+dy+ez=i・・・④
g+h+i=2008・・・⑤
上の①～⑤を満たす(x,y,z)のなかでx+y+zが最小となる(d,e,f)を下の⑥～⑧に代入する。なお、上の方程式と下の方程式の解は同じとする。
ax^2+by+cz=d・・・⑥
bx^2+cy+az=e・・・⑦
cx^2+ay+bz=f・・・⑧
このとき、a+b+cの値はどのくらいでしょうか。
答：4/251
問題45(t)
１２３４５６７８９１０１１１１２・・・４８４９５０と１～５０までの自然数をそのまま並べた数がある。これを位と位の間でn個に区切って、それによってできるn-1個の数の和が２００８にすることができますか。
たとえば、１２３｜４５６｜７８９｜１０１１｜・・・｜７４８｜４９５０とするのであれば、１２３＋４５６＋７８９＋１０１１＋・・・＋７４８＋４９５０とすればよい。
答：一桁ずつの和を３で割った余りは１＋２＋・・・＋５０を３で割った余りと等しい。１＋２＋・・・＋５０＝１２７５だから、３で割った余りは、０である。また、n-1個の数の和を３で割ったときの余りは一桁ずつの和を３で割った余りと等しいが、２００８を３で割った余りは１なので、これはおかしい。よって、不可能。
問題46(y)
10個の正の数がある。この中から4個の数を取り出したとき、後の6個の数の和より和が大きかった。このような4個の数の取り出し方は多くて何通りあるか。
１０個の正の数をＡ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４，Ａ５，Ａ６，Ａ７，Ａ８，Ａ９，Ａ１０とすると、Ａａ+Ａｂ+Ａｃ+Ａｄ＞Ａｅ+Ａｆ+Ａｇ+Ａｇ+Ａｈ+Ａｉ+Ａｊである。このときＡｅ～Ａｊのうちどの４つの数をとってもあとの６つの数の和より小さい。（Ａａ≧Ａｂ≧Ａｃ≧Ａｄ、Ａｅ≧Ａｆ≧Ａｇ≧Ａｈ≧Ａｉ≧Ａｊ）
Ａａ＝Ａ１のとき取り出し方が最も多いのは、
Ａ１＋Ａ８＋Ａ９＋Ａ１０＞Ａ２＋Ａ３＋Ａ４＋Ａ５＋Ａ６＋Ａ７のときで取り出し方は９Ｃ３＝８４
Ａａ＝Ａ２のとき取り出し方が最も多いのは、
Ａ２＋Ａ５＋Ａ６＋Ａ７＞Ａ１＋Ａ３＋Ａ４＋Ａ８＋Ａ９＋Ａ１０のときで取り出し方は５Ｃ２＝１０
Ａａ＝Ａ３のとき取り出し方が最も多いのは、
Ａ３＋Ａ５＋Ａ６＋Ａ７＞Ａ１＋Ａ２＋Ａ４＋Ａ８＋Ａ９＋Ａ１０のときで取り出し方は４Ｃ１＝４
Ａａ＝Ａ４のとき取り出し方が最も多いのは、
Ａ４＋Ａ５＋Ａ６＋Ａ７＞Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＋Ａ８＋Ａ９＋Ａ１０のときで取り出し方は１
Ａａ＝Ａ５はないので８４通り
問題47(y)入試予想
(１)ＡＢＣＤＥという5角形があります。ＡＢ=ＣＤ，ＣＢ=８ｃｍ，ＡＥ=ＤＥ=２ｃｍ，∠Ａ=６０゜，∠Ｅ=２４０゜，∠Ｄ=１２０゜のときＡＢＣＤＥの面積は１辺１ｃｍの正三角形の何倍か。
(２)上の５角形をＢを通る直線で二等分するときＣＤと交わる点をＦ、Ｃを通る直線で二等分するときＡＢと交わる点をＧとします。ＢＦとＣＧの交わる点をＨとするとき６角形ＡＧＨＦＤＥの面積は１辺１ｃｍの正三角形の何倍か。
問題48(t)
凸五角形がある。この五角形の対角線をすべて引くことで、五角形の内部に１１個の空欄ができる。この空欄に－５～５までの整数１１個をひとつずつ書き込む。この時、次の条件を満たす空欄の書き込み方は何通りあるか。
(1)ある空欄に書いてある数字と、その空欄に接している空欄に書いてある数字の和が等しい。
(2)(1)の条件がすべての空欄に対して満たす。
答え：０通り
問題49（anco）入試予想
1辺が12センチの立方体ABCD-EFGHがある。まずACFを通る平面でこれを切断し、ACを3：1に内分する点をP、CFを3:1に内分する点をQとする。このときDPQを通る平面でこの立体を切断する。
(1)切断面はFGのFから何センチのところを通るか。
(2)二つに切断された立体のそれぞれの体積を求めよ。
図あり。
問題50(F) 入試予想
４桁の自然数がN個ある。このN個の自然数は以下の性質を満たす。連続する３桁を取り出して、それらをかけ合わせると平方数になり、５は必ず含まれている。ただし、N個の数の中に同じ数は入っていないものとする。
上記の性質を満たす自然数の中で、
(1)８０００以下の自然数で、最も大きいものを答えよ。
(2)桁に２が２つ以上含まれているものの個数を答えよ。
(3)Nを求めよ。
(1)７９５５(2)１８個(3)３１２
問題51(t) 入試予想
聖光君はお父さんと遊園地に行きました。
遊園地のアトラクションにはジェットコースター、コーヒーカップ、メリーゴーランドがあります。
それぞれのアトラクションを乗るにはお金がかかります。また、３０００円分、アトラクションに乗れる特別チケットが２５００円で売っています。
下の会話文は家に帰る途中の会話です。これをもとに、各門を解きなさい。なお、聖光君とお父さんは一緒にアトラクションに乗りました。
聖光君「お父さん、今日はいくら使った？ジェットコースターは１０００円以上していて、一番高かったけど。」
お父さん「えーと、８０００円かな。特別チケットをできるだけ得するように買ったけどね。」
聖光君「ふーん。ところで、僕、コーヒーカップをメリーゴーランドより２回多く乗っちゃって目が回っちゃったよね。」
お父さん「そうだったね。ジェットコースター１回乗っても、コーヒーカップ、メリーゴーランドに１回ずつ乗っても、料金は一緒だったね。」
聖光君「ジェットコースターよりも７００円安い料金で乗れるメリーゴーランドはお得だったね。」
お父さん「一応、全てのアトラクションの料金は５０の倍数だったよ。」
(1)特別チケットを買わなければ、いくらお金を使っていたでしょうか。
(2)ジェットコースターとコーヒーカップは合わせて何回乗ったでしょうか。
(3)翌日、聖光君の友達も同じ遊園地にいったとききました。友達はジェットコースターとメリーゴーランドしか乗らなかったそうで、合計８回アトラクションに乗って、４４００円使ったそうです。さて、聖光君の友達はジェットコースターとメリーゴーランドをそれぞれ何回ずつ乗ったでしょうか。
答：(1)９５００円(2)１０回(3)ジェットコースター：３回、メリーゴーランド：５回
投票会を春休みかなんかにやります。それまでじっくり見たり解いてみたりしてください。
----
問題41(y)
(1/a)+(1/b)+(1/c)=１のa,b,cの整数解は何通りあるでしょう。ただし10≧a≧b≧ｃです。
問題42(y)
(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/d)+(1/e)+(1/f)=Ａ
a~fはそれぞれ異なる自然数のとき最大のＡの値を求めよ。
また、そのとき(a,b,c,d,e,f)の組は何通り考えられるか。
問題43(i)
<math>a+b=c^{2}</math>
<math>b+c=a^{2}</math>
<math>c+a=b^{2}</math>
<math>a,b,c</math>の自然数解をすべて求めよ。
問題44(t)
0≦d,e,f≦50・・・①
dx^2+ey+fz=g・・・②
ex^2+fy+dz=h・・・③
fx^2+dy+ez=i・・・④
g+h+i=2008・・・⑤
上の①～⑤を満たす(x,y,z)のなかでx+y+zが最小となる(d,e,f)を下の⑥～⑧に代入する。なお、上の方程式と下の方程式の解は同じとする。
ax^2+by+cz=d・・・⑥
bx^2+cy+az=e・・・⑦
cx^2+ay+bz=f・・・⑧
このとき、a+b+cの値はどのくらいでしょうか。
答：4/251
問題45(t)
１２３４５６７８９１０１１１１２・・・４８４９５０と１～５０までの自然数をそのまま並べた数がある。これを位と位の間でn個に区切って、それによってできるn-1個の数の和が２００８にすることができますか。
たとえば、１２３｜４５６｜７８９｜１０１１｜・・・｜７４８｜４９５０とするのであれば、１２３＋４５６＋７８９＋１０１１＋・・・＋７４８＋４９５０とすればよい。
答：一桁ずつの和を３で割った余りは１＋２＋・・・＋５０を３で割った余りと等しい。１＋２＋・・・＋５０＝１２７５だから、３で割った余りは、０である。また、n-1個の数の和を３で割ったときの余りは一桁ずつの和を３で割った余りと等しいが、２００８を３で割った余りは１なので、これはおかしい。よって、不可能。
問題46(y)
10個の正の数がある。この中から4個の数を取り出したとき、後の6個の数の和より和が大きかった。このような4個の数の取り出し方は多くて何通りあるか。
１０個の正の数をＡ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４，Ａ５，Ａ６，Ａ７，Ａ８，Ａ９，Ａ１０とすると、Ａａ+Ａｂ+Ａｃ+Ａｄ＞Ａｅ+Ａｆ+Ａｇ+Ａｇ+Ａｈ+Ａｉ+Ａｊである。このときＡｅ～Ａｊのうちどの４つの数をとってもあとの６つの数の和より小さい。（Ａａ≧Ａｂ≧Ａｃ≧Ａｄ、Ａｅ≧Ａｆ≧Ａｇ≧Ａｈ≧Ａｉ≧Ａｊ）
Ａａ＝Ａ１のとき取り出し方が最も多いのは、
Ａ１＋Ａ８＋Ａ９＋Ａ１０＞Ａ２＋Ａ３＋Ａ４＋Ａ５＋Ａ６＋Ａ７のときで取り出し方は９Ｃ３＝８４
Ａａ＝Ａ２のとき取り出し方が最も多いのは、
Ａ２＋Ａ５＋Ａ６＋Ａ７＞Ａ１＋Ａ３＋Ａ４＋Ａ８＋Ａ９＋Ａ１０のときで取り出し方は５Ｃ２＝１０
Ａａ＝Ａ３のとき取り出し方が最も多いのは、
Ａ３＋Ａ５＋Ａ６＋Ａ７＞Ａ１＋Ａ２＋Ａ４＋Ａ８＋Ａ９＋Ａ１０のときで取り出し方は４Ｃ１＝４
Ａａ＝Ａ４のとき取り出し方が最も多いのは、
Ａ４＋Ａ５＋Ａ６＋Ａ７＞Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＋Ａ８＋Ａ９＋Ａ１０のときで取り出し方は１
Ａａ＝Ａ５はないので８４通り
問題47(y)入試予想
(１)ＡＢＣＤＥという5角形があります。ＡＢ=ＣＤ，ＣＢ=８ｃｍ，ＡＥ=ＤＥ=２ｃｍ，∠Ａ=６０゜，∠Ｅ=２４０゜，∠Ｄ=１２０゜のときＡＢＣＤＥの面積は１辺１ｃｍの正三角形の何倍か。
(２)上の５角形をＢを通る直線で二等分するときＣＤと交わる点をＦ、Ｃを通る直線で二等分するときＡＢと交わる点をＧとします。ＢＦとＣＧの交わる点をＨとするとき６角形ＡＧＨＦＤＥの面積は１辺１ｃｍの正三角形の何倍か。
問題48(t)
凸五角形がある。この五角形の対角線をすべて引くことで、五角形の内部に１１個の空欄ができる。この空欄に－５～５までの整数１１個をひとつずつ書き込む。この時、次の条件を満たす空欄の書き込み方は何通りあるか。
(1)ある空欄に書いてある数字と、その空欄に接している空欄に書いてある数字の和が等しい。
(2)(1)の条件がすべての空欄に対して満たす。
答え：０通り
問題49（anco）入試予想
1辺が12センチの立方体ABCD-EFGHがある。まずACFを通る平面でこれを切断し、ACを3：1に内分する点をP、CFを3:1に内分する点をQとする。このときDPQを通る平面でこの立体を切断する。
(1)切断面はFGのFから何センチのところを通るか。
(2)二つに切断された立体のそれぞれの体積を求めよ。
図あり。
問題50(F) 入試予想
４桁の自然数がN個ある。このN個の自然数は以下の性質を満たす。連続する３桁を取り出して、それらをかけ合わせると平方数になり、５は必ず含まれている。ただし、N個の数の中に同じ数は入っていないものとする。
上記の性質を満たす自然数の中で、
(1)８０００以下の自然数で、最も大きいものを答えよ。
(2)桁に２が２つ以上含まれているものの個数を答えよ。
(3)Nを求めよ。
(1)７９５５(2)１８個(3)３１２
問題51(t) 入試予想
聖光君はお父さんと遊園地に行きました。
遊園地のアトラクションにはジェットコースター、コーヒーカップ、メリーゴーランドがあります。
それぞれのアトラクションを乗るにはお金がかかります。また、３０００円分、アトラクションに乗れる特別チケットが２５００円で売っています。
下の会話文は家に帰る途中の会話です。これをもとに、各門を解きなさい。なお、聖光君とお父さんは一緒にアトラクションに乗りました。
聖光君「お父さん、今日はいくら使った？ジェットコースターは１０００円以上していて、一番高かったけど。」
お父さん「えーと、８０００円かな。特別チケットをできるだけ得するように買ったけどね。」
聖光君「ふーん。ところで、僕、コーヒーカップをメリーゴーランドより２回多く乗っちゃって目が回っちゃったよね。」
お父さん「そうだったね。ジェットコースター１回乗っても、コーヒーカップ、メリーゴーランドに１回ずつ乗っても、料金は一緒だったね。」
聖光君「ジェットコースターよりも７００円安い料金で乗れるメリーゴーランドはお得だったね。」
お父さん「一応、全てのアトラクションの料金は５０の倍数だったよ。」
(1)特別チケットを買わなければ、いくらお金を使っていたでしょうか。
(2)ジェットコースターとコーヒーカップは合わせて何回乗ったでしょうか。
(3)翌日、聖光君の友達も同じ遊園地にいったとききました。友達はジェットコースターとメリーゴーランドしか乗らなかったそうで、合計８回アトラクションに乗って、４４００円使ったそうです。さて、聖光君の友達はジェットコースターとメリーゴーランドをそれぞれ何回ずつ乗ったでしょうか。
答：(1)９５００円(2)１０回(3)ジェットコースター：３回、メリーゴーランド：５回
問題５２(st)
３桁の自然数で，上２桁と下２桁の和がもとの自然数の約数になっているものを全て求めなさい．2008/06/15
