自作問題集(1~20)


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投票会を春休みかなんかにやります。それまでじっくり見たり解いてみたりしてください。


問題1(st)N

作成者の要望により削除されました.(st)

問題2(st)N

下の不等式を満たす非負整数(a,b)のくみをすべてもとめよ。

a^{2}b+ab^{2}+1 \geq a^{3}+b^{3}

最初消していましたが、復帰します。

いまさら解答(4/26) (右辺)-(左辺-1)=(a+b)(a-b)^2であり,(a-b)^2>=0,また仮定より(a+b)>=0となるから(右辺)>=(左辺-1). よって(左辺)=(右辺)または(左辺-1)=(右辺). これを解いて (a,b)=(1,0),(0,1),(k,k)(kは任意の非負整数)

問題3(st)G

\Delta ABCはAB=2,BC=4,CA=3であり、辺BC上にBP=1なる点Pをとる。このとき、2 \angle ABC+3 \angle BAP=180^{\circ}を示せ。

いまさら解答(4/29) BCの中点M,角Bの2等分線とACの交点Dをとると三角形ABD,MBDは合同. よってAD=MD=1. 三角形CMD,CPAは相似だからAP=3/2が得られる.角の2等分線の定理よりBDとAPの交点をQとするとAD=MD=AQ=1となる.またAQ//DMだから四角形AQMDは菱形.よって三角形CPAは2等辺三角形だから角CAP=角CPA=角BAP+2角ABD-?. また角AQD=角ADQ=角BAP+角ABD-!. ?,!より三角形AQDで4角ABD+3角BAP=2角ABC+3角BAP //

問題4(i)G

四角形ABCDにおいて、AB=CD,AD=3,BC=5,\angle ABC=70^{\circ},\angle DCB=20^{\circ}のとき、四角形ABCDの面積を求めよ。

問題5(i)G

四角形ABCDにおいて、AB=CD,AD=3,BC=5,\angle ABC=80^{\circ},\angle DCB=40^{\circ}のとき、四角形ABCDの面積は一辺の長さが1の正三角形の面積の何倍か。

問題6(st)N

\sum_{i=1}^n a_{i} = \prod_{i=1}^n a_{i}は必ず自然数解を持つことを示せ。

いまさら解答(4/26) (1,1,・・・1,2,n)(1はn-2個)

問題7(st)N

mが偶数の時、\sum_{i=0}^m 3^{i}と\sum_{i=0}^m (-3)^{i}の最小公倍数は何か。

いまさら解答(4/26) 3^mの方に3-1=2を,(-3)^mの方に3+1=4をかけると3^mの方は3^m-1に,(-3)^mの方は(-3)^mになる(mが偶数だから). この2つの最大公約数は2で,3^mの方,3^mの方はどちらも奇数だから互いに素. よって最小公倍数は2数の積の9^m-1/8 //

問題8(anco)G

\Delta ABCがあってBC上にDがありAC上にEがある。

BF:FD=3:1

\Delta AFE=\Delta BDF

このとき\Delta EFAの面積は\Delta ABCの面積の何倍か。

問題9(0)N

gcd(a,b)=7

lcm(b,c)=42

lcm(c,a)=70

なる自然数(a,b,c)の組を全て求めよ

問題10(^)C

200個の小島よしおがあり、特定の2つの島を行き来する船がいくつかある。どの小島から出発しても、ちょうど3つの船に乗って元の島に帰る事はできない。このとき、船は最大で何隻あるか。(10000隻)

問題11(st)G

立方体をある平面で切断すると六角形ができることがある。それの頂点をM_{1},M_{2},M_{3},M_{4},M_{5},M_{6}とする。三角形M_{1}M_{3}M_{5},M_{1}M_{2}M_{3},M_{3}M_{4}M_{5},M_{5}M_{6}M_{1}の面積をS,V_{1},V_{2},V_{3}とするとき S \geq V_{1}+V_{2}+V_{3} を示せ。

問題12(Anco)N

二つの船\alphaと\betaがある。両方とも分速400mである。あるとき\alphaがある川の下流Aから上流Bにいき10分休憩したあとAに向かう。\betaはBからAに向かってと同時に出発し到着すると休んだあと再びBにいく。 最初に出会ったとき\betaが\alphaのエンジンを破壊し\alphaは4分間流されたあと直って同じスピードで進み始めた。 二回目に出会ったとき川の流れが2倍になった。すると\alphaはちょうど予定通りにAにたどり着いた。二回目に出会った場所をCとするとAB:BCは3:2になる。川の流れは80mである。\betaはAで何分休んだか。

問題13(0)C

AからBまで16mで行きたい。今図の6つの地点が通行止めになっている。これから4つの地点を通行止めにする。このときAからBまで行けなくなるような4つは何通りあるか。

問題14(0)N

りんご5こ、みかん3こ、チョコ1この合計が500円で、りんご4こ、みかん6こ、チョコ2この合計が640円であるとき、りんご、みかん、チョコの値段で考えられる組み合わせは何通りあるか。但し、りんご、みかん、チョコはどれも10円以上とする。

問題15(F)CG

円Oの周上に等間隔に12個の点を置く。 これらの点から適当に4点を選び,四角形ABCDをつくる。 四角形ABCDの面積をa,円Oからaを引いた面積をbとする。 \frac{a}{b}を小数第2位で四捨五入すると,1.8になるという。 円周率を〈math〉3.14とするとき、四角形ABCDの点の取り方の組み合わせは□通りである。

問題16(Anco)G

∠c=40∠g=30∠h=50 次の図の示された角の大きさの和を求めよ。図はしたね。


問題17(F)

Fの要望により削除されました。

問題18(t)N

A,B,C,D,Eはそれぞれ自然数である。このとき、次の方程式を解け。なお、ルートの中身は()で囲んであるところのみである。

A=\sqrt{4B-7}\cdots[1]

B=\sqrt{6C-14}\cdots[2]

C=\sqrt{8D-23}\cdots[3]

D=\sqrt{10E-34}\cdots[4]

E=\sqrt{2A+23}\cdots[5]

答:A=1、B=2、C=3、D=4、E=5

問題19(t)N

あるところにもちという人がいました。この人は一日中暇なので、ある細長い紙に2007桁の数字を書いています。そしてこの数字の連続する桁をうまく抜き出すことで、2007の倍数にできる数字を見つけることができたら、そのもちという人は感激して発狂します。さて、このもちという人が発狂する確率はどのくらいでしょうか。 例えば、1234・・・・4014・・・・4321は4014という2007の倍数を含んでいるため、このもちという人は発狂します。    注:もともと発狂しているから100%であるという答えは当たっているかもしれませんが、この問題では間違いです。

答:100%

問題20(t)N

ここにA \sim Fの6人いて、Fは寝ています。この6人はある数について話し合っています。この6人は一方はうそ、一方は本当という意見を言っています。

A:2で割りきれる。各桁の和は9である。

B:18で割りきれる。3330の約数である。

C:各桁の和は10である。奇数である。

D:2で割りきれない。各桁の和は12ではない。

E:24で割りきれる。平方数ではない。

F:僕はねていない。この数は□です。

さて、□に入る数は何でしょう。

答:333

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