投票会を春休みかなんかにやります。それまでじっくり見たり解いてみたりしてください。
問題1(st)N
作成者の要望により削除されました．(st)
問題2(st)N
下の不等式を満たす非負整数(a,b)のくみをすべてもとめよ。
a^{2}b+ab^{2}+1 \geq a^{3}+b^{3}
最初消していましたが、復帰します。
いまさら解答（４／２６） (右辺)-(左辺-1)=(a+b)(a-b)^2であり，(a-b)^2>=０，また仮定より(a+b)>=0となるから(右辺)>=(左辺-1). よって(左辺)=(右辺)または(左辺-1)=(右辺)． これを解いて (a,b)=(1,0),(0,1),(k,k)(kは任意の非負整数)
問題3(st)G
\Delta ABCはAB=2,BC=4,CA=3であり、辺BC上にBP=1なる点Pをとる。このとき、2 \angle ABC+3 \angle BAP=180^{\circ}を示せ。
いまさら解答（４／２9） BCの中点M，角Bの2等分線とACの交点Dをとると三角形ABD,MBDは合同． よってAD=MD=1. 三角形CMD,CPAは相似だからAP=3/2が得られる．角の2等分線の定理よりBDとAPの交点をQとするとAD=MD=AQ=1となる．またAQ//DMだから四角形AQMDは菱形．よって三角形CPAは2等辺三角形だから角CAP=角CPA=角BAP+2角ABD-?. また角AQD=角ADQ=角BAP+角ABD-!. ?,!より三角形AQDで4角ABD+3角BAP=2角ABC+3角BAP //
問題4(i)G
四角形ABCDにおいて、AB=CD,AD=3,BC=5,\angle ABC=70^{\circ},\angle DCB=20^{\circ}のとき、四角形ABCDの面積を求めよ。
問題5(i)G
四角形ABCDにおいて、AB=CD,AD=3,BC=5,\angle ABC=80^{\circ},\angle DCB=40^{\circ}のとき、四角形ABCDの面積は一辺の長さが1の正三角形の面積の何倍か。
問題6(st)N
\sum_{i=1}^n a_{i} = \prod_{i=1}^n a_{i}は必ず自然数解を持つことを示せ。
いまさら解答（４／２６） (1,1,・・・1,2,n)(1はn-2個）
問題7(st)N
mが偶数の時、\sum_{i=0}^m 3^{i}と\sum_{i=0}^m (-3)^{i}の最小公倍数は何か。
いまさら解答（４／２６） 3^mの方に3-1=2を，(-3)^mの方に3+1=4をかけると3^mの方は3^m-1に，(-3)^mの方は(-3)^mになる(mが偶数だから). この2つの最大公約数は2で，3^mの方，3^mの方はどちらも奇数だから互いに素． よって最小公倍数は2数の積の9^m-1/8 //
問題8(anco)G
\Delta ABCがあってBC上にDがありAC上にEがある。
BF:FD=3:1
\Delta AFE=\Delta BDF
このとき\Delta EFAの面積は\Delta ABCの面積の何倍か。
問題9(0)N
gcd(a,b)=7
lcm(b,c)=42
lcm(c,a)=70
なる自然数(a,b,c)の組を全て求めよ
問題10(^)C
200個の小島よしおがあり、特定の2つの島を行き来する船がいくつかある。どの小島から出発しても、ちょうど3つの船に乗って元の島に帰る事はできない。このとき、船は最大で何隻あるか。(10000隻)
問題11(st)G
立方体をある平面で切断すると六角形ができることがある。それの頂点をM_{1},M_{2},M_{3},M_{4},M_{5},M_{6}とする。三角形M_{1}M_{3}M_{5},M_{1}M_{2}M_{3},M_{3}M_{4}M_{5},M_{5}M_{6}M_{1}の面積をS,V_{1},V_{2},V_{3}とするとき S \geq V_{1}+V_{2}+V_{3} を示せ。
問題12（Anco)N
二つの船\alphaと\betaがある。両方とも分速400ｍである。あるとき\alphaがある川の下流Aから上流Bにいき10分休憩したあとAに向かう。\betaはBからAに向かってと同時に出発し到着すると休んだあと再びBにいく。 最初に出会ったとき\betaが\alphaのエンジンを破壊し\alphaは4分間流されたあと直って同じスピードで進み始めた。 二回目に出会ったとき川の流れが2倍になった。すると\alphaはちょうど予定通りにAにたどり着いた。二回目に出会った場所をCとするとAB:BCは3:2になる。川の流れは80mである。\betaはAで何分休んだか。
問題13(0)C
AからBまで16mで行きたい。今図の6つの地点が通行止めになっている。これから4つの地点を通行止めにする。このときAからBまで行けなくなるような4つは何通りあるか。
問題14(0)N
りんご5こ、みかん3こ、チョコ1この合計が500円で、りんご4こ、みかん6こ、チョコ2この合計が640円であるとき、りんご、みかん、チョコの値段で考えられる組み合わせは何通りあるか。但し、りんご、みかん、チョコはどれも10円以上とする。
問題15(F)CG
円Oの周上に等間隔に12個の点を置く。 これらの点から適当に4点を選び,四角形ABCDをつくる。 四角形ABCDの面積をa,円Ｏからaを引いた面積をbとする。 \frac{a}{b}を小数第2位で四捨五入すると,1.8になるという。 円周率を〈math〉3.14とするとき、四角形ABCDの点の取り方の組み合わせは□通りである。
問題16(Anco)G
∠c＝40∠ｇ＝30∠ｈ＝50 次の図の示された角の大きさの和を求めよ。図はしたね。
問題17(F)
Fの要望により削除されました。
問題18(t)N
A,B,C,D,Eはそれぞれ自然数である。このとき、次の方程式を解け。なお、ルートの中身は()で囲んであるところのみである。
A=\sqrt{4B-7}\cdots[1]
B=\sqrt{6C-14}\cdots[2]
C=\sqrt{8D-23}\cdots[3]
D=\sqrt{10E-34}\cdots[4]
E=\sqrt{2A+23}\cdots[5]
答：Ａ＝１、Ｂ＝２、Ｃ＝３、Ｄ＝４、Ｅ＝５
問題19(t)N
あるところにもちという人がいました。この人は一日中暇なので、ある細長い紙に2007桁の数字を書いています。そしてこの数字の連続する桁をうまく抜き出すことで、2007の倍数にできる数字を見つけることができたら、そのもちという人は感激して発狂します。さて、このもちという人が発狂する確率はどのくらいでしょうか。 例えば、1234・・・・4014・・・・4321は4014という2007の倍数を含んでいるため、このもちという人は発狂します。 注：もともと発狂しているから100％であるという答えは当たっているかもしれませんが、この問題では間違いです。
答：１００％
問題20(t)N
ここにA \sim Fの6人いて、Fは寝ています。この6人はある数について話し合っています。この6人は一方はうそ、一方は本当という意見を言っています。
A：2で割りきれる。各桁の和は９である。
B：18で割りきれる。3330の約数である。
C：各桁の和は10である。奇数である。
D：2で割りきれない。各桁の和は12ではない。
E：24で割りきれる。平方数ではない。
F：僕はねていない。この数は□です。
さて、□に入る数は何でしょう。
答：３３３
