中2-共円


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共円の原稿ここにて。

4/7更新 By anco

目次

1.共円とは
2.共円に関する定理
3.使えるテク
4.変形版
5.(余裕があれば)判定問題
6.定石(forgotten)

しかし5.は解が1つしかない、という保障がなければいけないので自分は無理だと思う
上の条件を抜かして何通りもあるという可能性も付ければ問題はいくらでも作る事が出来る。

1.

共円とは

共円とはオセロ盤などの格子状の盤に2人以上の人が順番に(オセロや碁石などで代用される事が多い)駒を置いていき、ある人が其の前の人が置いた駒によって共円ができた場合、共円を指摘することができる。共円を指摘した人はそれを説明し、正しければ、共円を作ってしまった人はゲームから脱落する。最後まで残った人が勝利である。
(後に追加)

0より

  • 通常は9×9の盤で行われる。
  • 詰め共円問題も世の中には存在する。
  • 共円の説明に共円と言う言葉が入っているのは自己矛盾していると思う。だから4点が同一円周上ということや共線の説明もするべき。

Fより

共円(定義)について
4コ以上の点が同一円周上にあるとき「この4点は共円である」という。これはれっきとした数学用語であり、ゲーム「共円」と区別してもらいたい。

共円(ゲーム)とは
①ルール:オセロ盤などの格子状の盤に2人以上の人が順番に格子点上に1つずつ駒をおく。駒はオセロの駒や碁石で代用することが多い。前者が置いた駒を必ず用いて4コ以上の点が共円になれば発見者(直前に駒を置いた人を除く)は「共円!」と宣言する。
②ゲーム進行:(1)プレイヤーが交互に駒を置く。(2)次に置くプレイヤー以外は共円がないか探す。(この時重要なのが、直前に置いた駒以外によって為される共円を発見しても宣言も除外もしないことである。)(3)共円をプレイヤーが発見した場合、発見したプレイヤーが叫ぶ(?)。その駒(最終)を置いたプレイヤーは脱落する。そして、その共円となった駒は取り除く。こうして、最後まで残った人が勝ち。

共円を見つけるのに必要な定理:方べきの定理、円周角の定理、トレミーの定理(定理と証明は下記参照)


2.共円に関する定理
円周角の定理、方ベキの定理、トレミーの定理など。(定理と証明?)

円周角の定理について(図はt8.bmp,t9.bmp,t10.bmpだと思います。)

定理:円周角は同じ弧に対する中心角の半分である。また、同じ円、または等しい円において、同じ弧または等しい弧に対する円周角は等しく、等しい円周角に対する弧は等しい。

証明:まず、円周角が同じ弧に対する中心角の半分であることを証明する。
   中心角∡AOB<180°の場合について証明すれば、中心角度が180°≦∡AOB≦360°の場合も同様に証明できる。
   円周角と中心角の位置関係について、点Pの位置により、次の3つの場合がある。
   (ⅰ)中心OがPAまたはPB上にあるとき(t8.bmp)
      △OPBにおいて、
      ∡OPB=∡OBP (∵ OP=OB)・・・①
      また、∡AOB=∡OPB+∡OBP=2∡OPB (∵ ①より)・・・②

      ②より  ∡AOB=2∡APB
    (ⅱ)中心Oが∡APB内にあるとき(t9.bmp)
      P,Oを結び、直径PQを引くと(ⅰ)と同様にして
      ∡QOA=2∡QPA・・・③
         ∡QOB=2∡QPB・・・④
      ③+④より  ∡QOA+∡QOB=2(∡QPA+∡QPB)
         よって、  ∡AOB=2∡APB
   (ⅲ)中心Oが∡APB外にあるとき(t10.bmp)
      P,Oを結び、直径PQをひくと(ⅰ)と同様にして
      ∡QOA=2∡QPA・・・⑤
      ∡QOB=2∡QPB・・・⑥
      ⑥-⑤より  ∡QOB-∡QOA=2(∡QPB-∡QPA)
         よって、  ∡AOB=2∡APB
   (ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)より円周角∡APBは同じ弧ABに対する∡AOBの半分である。  

   次に、同じ円、または等しい円において、(1)同じ弧または等しい弧に対する円周角は等しく、(2)等しい円周角に対する弧は等し   いことを証明する。
   (1):先ほど証明したことより、同じ円または等しい円においては、同じ弧または等しい弧に対する中心角は等しく、円周角は、すべ       てその弧に対する中心角の半分であることから、明らかである。
   (2):円周角が等しければその2倍である中心角は等しい。ゆえに、等しい中心角に対する弧は等しいことから成り立つ。

   よって、円周角の定理が証明された。  (証明終了)

   (t8.bmp~t10.bmpは明日アップロードするつもりです。⇒やっぱりアップロードしません。すみません。)
方べきの定理について(図はt7.jpgです。) 

定理:円に内接する四角形ABCDで対角線AC,BDの交点をPとする。このとき、AP×PC=BP×PD.

証明:△ABPと△DCPにおいて、円周角の定理より、
   ∡ABP=∡DCP・・・①
   ∡BAP=∡CDP・・・②である。
   ①、②より、△ABPと△DCPは相似である(二角相等)。
   なので、AP:BP=CP:DPとなる。
   外項の積と内項の積は等しいので、AP×PC=BP×PD.  (証明終了)  

トレミーの定理について(図はt5.jpgだと思います。)

定理:円に 内接する四角形 ABCD で
AB・CD + BC・DA = AC・BD

証明:図のように線分 BC 上の点 E を∠BAE = ∠CAD となるように採る。これと所謂円周角定理から (同一弧 AD の円周角で)∠ABE = ∠ACD であるから, 二角が等しいので △ABE ∽ △ACD (相似)。従って AB : AC = BE : CD。外項と内項の積が等しいという性質を用いて
AB・CD = AC・BE …… (1).

一方
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠ABD + ∠CAD = ∠ABE + ∠BAE
= ∠AED (最後は △ABE の外角であることを用いた)
であり (或いは ∠BAC = ∠BAE + ∠EAC = ∠CAD + ∠EAC = ∠EAD の方でもいい), 円周角定理から (同一弧 AB の円周角で) ∠BCA = ∠EDA であるから, 二角相等により△ABC ∽ △AED. 従って BC : DE = AC : AD. だから
BC・AD = AC・DE …… (2).

(1) + (2) から
AB・CD + BC・DA = AC・BE + AC・DE = AC・(BE + DE) = AC・BE.  証明終了。  以上、tでした。

円に内接する四角形の定理について、

定理:円に内接する四角形ABCDにおいて、∡ABC+∡CDA=180°となる。

証明:四角形ABCDに外接する円の中心をOとおく。なお、下記の∡AOCはD側の角度を表わしている。
   円周角の定理より、360°-∡AOC=2∡ADC・・・①
                 ∡AOC=2∡ABC・・・②
   また、360°-∡AOC+∡AOC=360°・・・③

   ①、②、③より、2(∡ADC+∡ABC)=360°
   よって、∡ADC+∡ABC=180°    (Q.E.D)  以上、Fでした。         


3.使えるテク

2の定理を利用した方法
1 円周角の定理の逆
∠ACB=∠ADB→共円
∠DAB + ∠BCD =180→共円
2 方ベキの定理の逆
AB,CDの交点をPと置くと、PA×PB=PC×PD→共円
AC,BDの交点をQと置くと、QA×QC=QB×QD→共円
3 トレミーの定理
AB・CD + BC・DA = AC・BD→共円
4 複素反転による方法
複素平面において、4点 0、α、β、γが共円 共円
⇔ 複素平面において、3点 1/α、1/β、1/γが共線
(⇔ 複素平面において、3点 βγ、γα、αβが共線)

2と3は重なる部分があると思います。

4.変形版?

変形版の定石は掲示板に書きたいと思います。(t)
6.定石

一応、下に図をしめしておきます。(t)「このページを編集」というページに行けば、見やすいです。

①+++◎◎+++   ②++++◎++◎++++   ③++◎+++◎++   ④+◎++◎+
 +◎++++◎+    ++◎++++++◎++    +++++++++    ++++++
 ++++++++    +◎++++++++◎+    +++++++++    ◎++++◎
 ◎++++++◎    ++++++++++++    ◎+++++++◎    ++++++
 ◎++++++◎    ◎++++++++++◎    ◎+++++++◎    +◎++◎+
 ++++++++    ++++++++++++    +++++++++
 +◎++++◎+    ++++++++++++    +++++++++
 +++◎◎+++    ◎++++++++++◎    ++◎+++◎++
             ++++++++++++
             +◎++++++++◎+
             ++◎++++++◎++
             ++++◎++◎++++

⑤++++++◎◎++++++   ⑥+++++◎+++++   ⑦++◎+◎++   ⑧++◎++++++  
 +++◎++++++◎+++    ++◎+++++◎++    ◎+++++◎    +++++++◎+
 ++++++++++++++    +◎+++++++◎+    +++++++    ◎++++++++
 +◎++++++++++◎+    +++++++++++    +++++++    ++++++++◎
 ++++++++++++++    +++++++++++    +++++++    +++++++++
 ++++++++++++++    ◎+++++++++◎    +++++++    +++++++++
 ◎++++++++++++◎    +++++++++++    +++++++    +++++++++
 ◎++++++++++++◎    +++++++++++    +++++++    +◎+++++++
 ++++++++++++++    +◎+++++++◎+    ◎+++++◎    +++◎+++++
 ++++++++++++++    ++◎+++++◎++    ++◎+◎++
 +◎++++++++++◎+    +++++◎+++++
 ++++++++++++++
 +++◎++++++◎+++
 ++++++◎◎++++++

⑨++++++◎◎   ⑩+++++++◎   ⑪+++++◎+   ⑫+++◎++◎+++   ⑬++++++◎+◎
 ++++++++    ++++◎+++    ◎++++++    ++++++++++    +++◎+++++
 +◎++++++    ++++++++    +++++++    ++++++++++    +++++++++
 ◎+++++++    +◎++++++    +++++++    ++++++++++    +++++++++
             ◎+++++++    ++++++◎    ◎++++++++◎    ◎++++++++
                         +++++++    ++++++++++
                         +++◎+++    ++++++++++
                                    ++++++++++
                                    ++◎++++◎++

⑭++++++◎+◎   ⑮+++◎++++◎   ⑯+++◎+++◎+++
 +++++++++    +++++++++    +++++++++++
 ++◎++++++    +++++++++    +++++++++++
 +++++++++    +++++++++    +++++++++++
 +++++++++    ◎++++++++    +++++++++++
 +++++++++    +++++++++    +++++++++++
 ◎++++++++    ◎++++++++    ◎+++++++++◎
 +++++++++                 +++++++++++
 ◎++++++++                 +◎+++++++◎+

それぞれの円の半径はy君が求めてあるので、y君に半径を書いてもらいましょう。

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