自作問題集(41~60)


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投票会を春休みかなんかにやります。それまでじっくり見たり解いてみたりしてください。


問題41(y)

(1/a)+(1/b)+(1/c)=1のa,b,cの整数解は何通りあるでしょう。ただし10≧a≧b≧cです。

問題42(y)

(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/d)+(1/e)+(1/f)=A a~fはそれぞれ異なる自然数のとき最大のAの値を求めよ。 また、そのとき(a,b,c,d,e,f)の組は何通り考えられるか。

問題43(i)

a+b=c^{2}

b+c=a^{2}

c+a=b^{2}

a,b,cの自然数解をすべて求めよ。

問題44(t)

0≦d,e,f≦50・・・① dx^2+ey+fz=g・・・② ex^2+fy+dz=h・・・③ fx^2+dy+ez=i・・・④ g+h+i=2008・・・⑤

上の①~⑤を満たす(x,y,z)のなかでx+y+zが最小となる(d,e,f)を下の⑥~⑧に代入する。なお、上の方程式と下の方程式の解は同じとする。

ax^2+by+cz=d・・・⑥ bx^2+cy+az=e・・・⑦ cx^2+ay+bz=f・・・⑧

このとき、a+b+cの値はどのくらいでしょうか。

答:4/251

問題45(t)

1234567891011112・・・484950と1~50までの自然数をそのまま並べた数がある。これを位と位の間でn個に区切って、それによってできるn-1個の数の和が2008にすることができますか。 たとえば、123|456|789|1011|・・・|748|4950とするのであれば、123+456+789+1011+・・・+748+4950とすればよい。

答:一桁ずつの和を3で割った余りは1+2+・・・+50を3で割った余りと等しい。1+2+・・・+50=1275だから、3で割った余りは、0である。また、n-1個の数の和を3で割ったときの余りは一桁ずつの和を3で割った余りと等しいが、2008を3で割った余りは1なので、これはおかしい。よって、不可能。

問題46(y)

10個の正の数がある。この中から4個の数を取り出したとき、後の6個の数の和より和が大きかった。このような4個の数の取り出し方は多くて何通りあるか。

10個の正の数をA1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10とすると、Aa+Ab+Ac+Ad>Ae+Af+Ag+Ag+Ah+Ai+Ajである。このときAe~Ajのうちどの4つの数をとってもあとの6つの数の和より小さい。(Aa≧Ab≧Ac≧Ad、Ae≧Af≧Ag≧Ah≧Ai≧Aj) Aa=A1のとき取り出し方が最も多いのは、 A1+A8+A9+A10>A2+A3+A4+A5+A6+A7のときで取り出し方は9C3=84 Aa=A2のとき取り出し方が最も多いのは、 A2+A5+A6+A7>A1+A3+A4+A8+A9+A10のときで取り出し方は5C2=10 Aa=A3のとき取り出し方が最も多いのは、 A3+A5+A6+A7>A1+A2+A4+A8+A9+A10のときで取り出し方は4C1=4 Aa=A4のとき取り出し方が最も多いのは、 A4+A5+A6+A7>A1+A2+A3+A8+A9+A10のときで取り出し方は1 Aa=A5はないので84通り


問題47(y)入試予想

(1)ABCDEという5角形があります。AB=CD,CB=8cm,AE=DE=2cm,∠A=60゜,∠E=240゜,∠D=120゜のときABCDEの面積は1辺1cmの正三角形の何倍か。

(2)上の5角形をBを通る直線で二等分するときCDと交わる点をF、Cを通る直線で二等分するときABと交わる点をGとします。BFとCGの交わる点をHとするとき6角形AGHFDEの面積は1辺1cmの正三角形の何倍か。

問題48(t)

凸五角形がある。この五角形の対角線をすべて引くことで、五角形の内部に11個の空欄ができる。この空欄に-5~5までの整数11個をひとつずつ書き込む。この時、次の条件を満たす空欄の書き込み方は何通りあるか。

(1)ある空欄に書いてある数字と、その空欄に接している空欄に書いてある数字の和が等しい。 (2)(1)の条件がすべての空欄に対して満たす。

答え:0通り

問題49(anco)入試予想

1辺が12センチの立方体ABCD-EFGHがある。まずACFを通る平面でこれを切断し、ACを3:1に内分する点をP、CFを3:1に内分する点をQとする。このときDPQを通る平面でこの立体を切断する。

(1)切断面はFGのFから何センチのところを通るか。 (2)二つに切断された立体のそれぞれの体積を求めよ。 図あり。

問題50(F) 入試予想

4桁の自然数がN個ある。このN個の自然数は以下の性質を満たす。連続する3桁を取り出して、それらをかけ合わせると平方数になり、5は必ず含まれている。ただし、N個の数の中に同じ数は入っていないものとする。

上記の性質を満たす自然数の中で、 (1)8000以下の自然数で、最も大きいものを答えよ。 (2)桁に2が2つ以上含まれているものの個数を答えよ。

(3)Nを求めよ。

(1)7955(2)18個(3)312

問題51(t) 入試予想

聖光君はお父さんと遊園地に行きました。 遊園地のアトラクションにはジェットコースター、コーヒーカップ、メリーゴーランドがあります。 それぞれのアトラクションを乗るにはお金がかかります。また、3000円分、アトラクションに乗れる特別チケットが2500円で売っています。 下の会話文は家に帰る途中の会話です。これをもとに、各門を解きなさい。なお、聖光君とお父さんは一緒にアトラクションに乗りました。

聖光君「お父さん、今日はいくら使った?ジェットコースターは1000円以上していて、一番高かったけど。」 お父さん「えーと、8000円かな。特別チケットをできるだけ得するように買ったけどね。」 聖光君「ふーん。ところで、僕、コーヒーカップをメリーゴーランドより2回多く乗っちゃって目が回っちゃったよね。」 お父さん「そうだったね。ジェットコースター1回乗っても、コーヒーカップ、メリーゴーランドに1回ずつ乗っても、料金は一緒だったね。」 聖光君「ジェットコースターよりも700円安い料金で乗れるメリーゴーランドはお得だったね。」 お父さん「一応、全てのアトラクションの料金は50の倍数だったよ。」

(1)特別チケットを買わなければ、いくらお金を使っていたでしょうか。 (2)ジェットコースターとコーヒーカップは合わせて何回乗ったでしょうか。 (3)翌日、聖光君の友達も同じ遊園地にいったとききました。友達はジェットコースターとメリーゴーランドしか乗らなかったそうで、合計8回アトラクションに乗って、4400円使ったそうです。さて、聖光君の友達はジェットコースターとメリーゴーランドをそれぞれ何回ずつ乗ったでしょうか。

答:(1)9500円(2)10回(3)ジェットコースター:3回、メリーゴーランド:5回

問題52(st) 3桁の自然数で,上2桁と下2桁の和がもとの自然数の約数になっているものを全て求めなさい.2008/06/15

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